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g(k)个k次方数之和。g(2)=4，代进去就是 “4个2次方之和”，不就是“4个平方数之和”吗。
平方数就是，0,1,4,9,16 这些数。1=0+0+0+1, 2=0+0+1+1, 3=0+1+1+1。看上去好像有点无聊，但证明之后就可以对所有的数施用，还是有一定意义的。
g(k) 的是一个用语言描述的函数，不是 fuwuwei 说的那样。他这里没提，g(4) 是几就不知道，要有人证明才行。
华林dds
前面不是说的很清楚了吗？g(k) 就是把一个正整数表示为几个 k 次方的和时，那个 k 次方的个数。
如 7=1^2+1^2+1^2+2^2 ，表示为 4 个平方数之和，所以 g(2)=4 。
1=1^2+0^2+0^2+0^2 ，
2=1^2+1^2+0^2+0^2 ，
3=1^2+1^2+1^2+0^2 ，
都可以表示为 4 个数的平方和 。
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这里的g(k)的表达式为：g(k)=k^2
意为：4个2次方和；9个3次方和；16个4次方和；…；g(k)个k次方和
至于你说的1,2,3等等这些任意整数N，都可以表示，整个猜想即：存在a，b，c，d（不一定为整数），使得N=a^2+b^2+c^2+d^2成立。